איך לחשב שטחים עם אינטגרל


חישובי שטחים

שטח



נחשב שטח מוגדר הנוצר במישור הצירים, אשר נתחם בין ישרים או פונקציות. על מנת לחשבו ראשית נבצע אינטרגציה לפונקצייה,



  1. n: הינו הינו שיעור הx של גבול תחילת השטח הנמדד.
  2. m: הינו הינו שיעור הx של גבול סוף השטח הנמדד.
  3. : הפונקצייה שהשטח יחושב בינה לבין ציר הx.

לאחר שרשמנו את הביטוי כך, נבצע אינטגרציה לקבלת הפונקצייה הקדומה (בשביל עזרה באינטגרציה ראו דף חוקי נגזרות ואינטגרלים), ונציב בה את ערכי הגבול בצורה הזאת,



ולקבל התוצאה הסופית בעצם נחסר את הערך מהצבת נקודת סיום הגבול בפוקנצייה הקדומה, מערך הצבת נקודת ההתחלה. כעת נראה דוגמאות של סיטואציות שונות של מציאת שטחים שונים על מנת להבין נושא זה לעומק. הפונקציות אליהן נתייחס נמצאות בשרטוט הפונקציות העליון.

    השטחים 1-5 הינם בין ציר y , הישר x=2 , ו...

  1. וציר x.

  2. ו.

    בעצם, על מנת לחשב את השטח בין שתי פונקציות, ניצור פונקציית הפרשים, כלומר פונקצייה שתייצג את המרחק בין הפונקציות, היא תתקבל על ידי החסרת הפונקצייה העליונה מהתחתונה. במידה ולא ידוע איזו מהן היא העליונה, ניתן לבצע תמיד את חישוב השטח ואז לקחת ממנו את הערך מוחלט.
  3. וציר x.

    מכיוון שהשטח הינו מתחת לציר הx, הוא יצא שלילי, לכן נכפילו ב -1 מה שיהפכו לחיובי, דרישה אשר חייבת להתקיים.
  4. ו.

    בעצם, באינטגרציה זו שוב יצרנו פונקציית הפרשים, וחלק מן השטח המחושב הינו מתחת לציר x. אך, עקב כך ש > בכל התחום הפונקצייה ה"נוצרת" בתוך האינטגרל תהיה חיובית בכל התחום, שכן ההפרש בין הפונקציות תמיד יהיה חיובי. ולכן לא צריך להכפילה ב-1, ולעצם זה שחלק מהשטח שאנו מנסים לחשב מתחת לציר x אין משמעות. הגיון זה יהיה תקף לכל פונקציות ההפרשים.
  5. ו.

    כאן, כמו במוסבר בסעיף הקודם, אין משמעות להיות השטח שלילי, עקב הגיון פונקציית ההפרשים.

    6. השטחים הבאים אינם מוגבלים בנוסף בין ציר y והישר x=2, אלא רק בין הישרים הנתונים. בניגוד ל1 עד 5.

  6. השטח מוגבל בין ציר x ל ו.

    כמוצג כאן, לעיתים נדרש לפצל את האינטגרל לשני חלקים שונים או יותר על מנת לחשב שטח מסויים.
  7. בין ל ו.

  8. בין לציר הx לx=-2 וx=5.

    בעצם נחלק את הפונקצייה לשני מקטעים - מכיוון שחלק מן השטח שנדרש לחשב נמצא מתחת לציר x, הוא יצא שלילי. כדי לתקן זאת, עקב כך ששטח לא יכול להיות שלילי, נכפילו ב-1.

נפח גוף סיבוב

נפח גוף סיבוב הינו הנפח הייוצר במידה ויקחו שטח מסויים, ויסובבו אותו ב360 מעלות סביב ציר הx. נמצאו על ידי בניית אינטגרל כמו בשטח רגיל, אך,

  1. נכפול את כל האינטגרל בפאי.
  2. נעלה את הפונקצייה בריבוע.

נחזור על אותן הדוגמאות עבורן מצאנו שטח רגיל, וכעת נמצא את נפח גוף הסיבוב שלהן. נשים לב להבדלים.

    הנפחים 1-5 הינם בין ציר y , הישר x=2 , ו...

  1. וציר x.

  2. ו.

    ביצירת פונקציית הפרשים עבור מציאת נפח גוף סיבוב, נעלה בריבוע כל פונקצייה בנפרד.
  3. וציר x.

    בחישוב נפח גוף סיבוב, אין זה משנה אם הנפח מעל ציר x או מתחתיו, שכן עקב ההעלאה בריבוע תמיד הוא יהיה חיובי. לכן לא נדרש לכפול את התוצאה ב-1.
  4. ו.
    לא נדרש לחשב נפח גוף סיבוב בין פונקציות הנמצאות בצדדים נגדיים של ציר x.
  5. ו.

    בנפח גוף הסיבוב, כשנכין פונקציית הפרשים, נציב כפונקצייה ה"עליונה" את הפונקצייה הרחוקה יותר מציר הx. כלומר, בתחומים בהם מחשבים שטח בין שתי פונקציות שליליות, הפונקצייה ממנה נחסר הפוכה ממה שהיא אמורה להיות בחישוב שטח רגיל, ותהיה דווקא הפונקצייה הנמוכה יותר.

    6. השטחים הבאים אינם מוגבלים בנוסף בין ציר y והישר x=2, אלא רק בין הישרים הנתונים. בניגוד ל1 עד 5.

  6. השטח מוגבל בין ציר x ל ו.

  7. בין ל ו.
    אותה ההערה מסעיף 4.
  8. בין לציר הx לx=-2 וx=5.

    מכיוון שחיוביות או שליליות לא משנה בחישוב נפח גוף סיבוב, לא נדרש לפצל את האינטגרל בניגוד לחישוב שטח רגיל.

אא

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה

הירשם ל- רשומות (Atom)